神奇的数学（III）- 无辜的殉道者​

“ 是什么让毕达哥拉斯学派的忠实信徒成为无辜的殉道者？是√2！”

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这些数就是上帝

我们已经认识了不少数字。首先是自然数，掰着手指就可以数的1，2，3。。。其次是有理数，就是两个自然数相除的商。负数是正数的镜像，零是个怪胎，好在它非常低调，而且数量只有一个，可以忍受。就这样我们构造出一切可以满足科学计算，有实用价值的数。

当时毕达哥拉斯志气满满，相信人类已经找到所有的数，并且坚信不仅上帝就是用这些数建筑了这个宇宙，甚至说这些数就是上帝。

然而，一个不幸的事件发生了。要理解这个事件的始末，我们还需要了解稍微多一点的数学知识，那就是勾股定理。

很多文明都独立地发现了勾股定理，中国人在公元前一千多年，古埃及人在公元前两千六百年前就有关于这个定理的记录。这个定理也被称为毕达哥拉斯定理，毫无疑问，他也是独立发现和证明这个定理的人之一。这个定理非常简单，记载中至少有367种不同的证明方法。定理的内容就是任意直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理反过来也成立，就是任意一个三角形，如果它两边的平方和等于第三边的平方，那它就是一个直角三角形。有许多整数组可以满足这个条件，最简单的是3，4，5。如果一个三角形它的 三条边的长度分别是3,4,5，那么它就是一个直角三角形。

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无理数

毕达哥拉斯的一个学生，也是毕达哥拉斯学派的忠实信徒，他发现如果一个直角三角形的两条直角边长度都为1的话，那么它的斜边长度根据沟谷定理就是根号二√2。而这个√2，他通过一个简单的证明，发现它居然不是一个有理数，也就是无法找到两个自然数，让它们的商等于√2。

这个发现是对毕达哥拉斯学派的致命打击，因为它意味着并不是所有数都是有理数，这等于挑战上帝是完全有理性的这一至高信念。毕达哥拉斯对此异常愤怒，于是下令把他的这个学生装到啤酒桶里淹死。

这个可怜的学生被淹死了，成为一个无辜的殉难者。然而虽然毕达哥拉斯可以淹死他的学生，但却无法淹死他学生给出的这个证明。（这个证明其实并不难，有兴趣的读者可以很容易在网上找到，也可以自己尝试证明，在这里我就不浪费大家的时间了）于是人们发现了无理数。

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无理数

有理数虽然无穷多，也无限密集，意思是说任何狭小的区间里有无穷多的有理数，而且如前面所说，有理数已经可以满足科学需要的任何精度的计算，实际上现在所有计算机处理的数原则上都是有理数。然而和无理数的数量比起来，怎么讲，根本无法比拟。比如我们把所有有理数当作一个原子，而所有无理数则比整个宇宙还要大。即使这样的比喻都没能反应出两者之间的真实差异，因为一个原子是有尺寸的，而我们的宇宙也是有限的。真实情况是所有有理数合在一起等于零，而所有无理数合作一起则是无穷大。

科学帮助我们认识这个物质世界，但数学则给我们开启一个远超越这个物质世界的真理窗口。无理数的发现让人们认识到理性对现实的超越性，即现实的有限性和真理的无限性。然而发现无理数只是探索无限真理的第一步，让我们看看神奇的数学又能给我们带来什么样的惊奇。